頂級投資機構 Paradigm 在上周發布了一篇介紹新型金融衍生品「乘方永續合約」的論文。論文一經發布，就在區塊鏈的核心用戶社群內引發了廣泛的討論。
那麼，乘方永續合約到底是全新的衍生品類別，還是僅僅對已有衍生品進行了改進。是更加接近期權類衍生品，還是更像我們熟悉的永續合約。本文將通過盡量簡明的語言，嘗試為讀者分析這種新型衍生產品的意義與價值。（註：本文假設讀者已對期貨、期權以及永續合約的基礎知識有一定了解，故不再佔用篇幅介紹衍生品基礎知識。）
當然，希望進一步深入了解「乘方永續合約」的讀者，還是建議直接閱讀論文原文或由律動轉載的中文翻譯，以及文章中引用的參考鏈接。
線性函數與凸函數
目前所有的金融衍生品，不論其產品的具體結構設計如何變化，其核心都是要構造一個底層資產價格對衍生品價格的映射函數。在這個思路下，主流衍生品可以按照其映射函數的類型分為以下兩類：
第一類為線性函數類衍生品，其衍生品的價格會根據現貨價格的變動而線性變化，對應的產品就是傳統金融中的期貨合約，在此不做過多介紹。
而第二類為凸函數類型衍生品。其典型特徵為衍生品的價格與現貨價格的變動成非線性關係，比如在現貨價格上漲時衍生品價格上漲的幅度更大。而在數學上，凸函數也有明確的幾何特徵，在不追求嚴謹數學定義的前提下，凸函數可以被簡單的理解為一個函數曲線向上或向下彎曲的函數。
下圖是隨機生成的一條函數圖像向下彎曲的凸函數，如果我們使用這個函數構建一個衍生品，其中 x 軸代表現貨價格，y 軸代表衍生品的價格。那麼這個衍生品的持有者，就會獲得一種不對稱的風險與收益，當現貨價格上漲時，衍生品持有者的收益增長幅度更大，而當現貨價格下跌時，衍生品持有者虧損的速度卻會更小。
讀者可能已經發現，這種風險收益模式就很類似看漲期權的盈虧模型。因此所有期權類衍生品的核心特徵，也可以概括為風險與收益的不對稱性，這種屬性也常被稱為凸性（幾何描述）或 Gamma 值（代數描述）。
這種由凸函數帶來的不對稱的風險與收益組合，為投資者提供了一種十分理想的投資組合風險管理工具。因此具有凸性的金融產品（期權類產品），在傳統金融市場中一直佔據着很大的市場份額，常被專業投資機構用來調整投資組合的風險敞口，或構建更為複雜的衍生產品。
然而美中不足的是，傳統的期權類產品受制於買權、賣權交易的具體實現形式，因此總是難以徹底擺脫產品會不斷到期以及需要行權的缺點。雖然業內一直在進行相關的探索，嘗試構建一種沒有到期日的「永續期權」產品，但效果卻一直不甚理想。
由 Paradigm 最新論文提出的「乘方永續合約」，便是對這一經典命題的最新回復。它嘗試結合已經成功驗證過的永續合約產品結構，並通過將其核心函數由線性函數調整為凸函數，試圖解決曾經的「永續期權」一直沒能真正解決的問題，那就是：構造一個不會到期也不需要行權，同時具有凸性的衍生品類別。
對傳統衍生品的重構
我們參照上文的思路，利用永續合約經典的資金費模式，分別對兩種映射函數進行產品重構，便會得到兩種新的衍生品形式。
從上表中可以看出，所謂乘方永續合約，就是利用了永續合約的資金費機制，構建了與期權風險模式類似的不對稱風險敞口的產品。這種結合了資金費機制以及期權類風險敞口的「乘方永續合約」，較傳統期權產品具有了以下明顯優勢：
1. 產品結構更為純粹，不再有交割期、行權價等額外環節，買賣雙方可以單純交易具有凸性的風險敞口；
2. 從根本上解決了同一交易對的流動性割裂問題，交易效率大大提高；
3. 底層邏輯更簡單，方便在計算資源有限的公鏈上進行產品實現；
4. 統一了凸函數類與線性函數類衍生產品的底層函數。從上表中可以看出，y = x 其實就是
在 n=1 時的特殊形式。因此一個衍生品協議，可以僅依靠同一個底層映射函數公式，便能模擬期貨與期權兩類不同的風險敞口；
乘方永續合約如何體現期權交易的四種風險敞口
我們知道，傳統的期權類產品包含四種不同的風險敞口，他們分別是：買入看漲期權、賣出看漲期權、買入看跌期權和賣出看跌期權。
他們的定價函數圖像如下（紅色曲線為估值曲線）：
下面我們將通過調整
中 n 的取值，嘗試構造與傳統期權函數相似的四種函數圖像。
（1）買入看漲期權
當 n>1 時，則函數圖像會向下突出。乘方永續合約的多方在現貨價格上漲時收益增幅更快，現貨價格下跌時虧損速度較慢，可以較好的模擬看漲期權的風險敞口。（本例中取 n=3，以買入價格對應的 y 值作為 y 軸原點）
（2）賣出看漲期權
在上圖的函數中，如果交易者不選擇做多而是做空，則其盈虧函數則與上圖正好相反。也就是按照 x 軸對函數圖像進行翻轉。
其持有者的收益特徵也與賣出看漲期權類似，在價格下跌時收益增幅較慢，而在價格上漲時虧損可以快速增長，對應傳統期權類的賣出看漲期權。
（3）買入看跌期權
如何通過乘方永續合約構建看跌期權，似乎在論文中並沒有提及。於是我們嘗試將 n 取為小於零的負值，便會得到一條現貨價格上漲時虧損緩慢增加，而下跌時收益快速增長的函數圖像。（下圖中 n 取-0.4）
這條曲線的多頭持有人的盈虧模型，與傳統看跌期權的收益模式非常類似，只是函數曲線與 x 軸不再相交，於是形成了在虧損時收益可以無限增長的特性。
（4）賣出看跌期權
同理，在上圖函數中的空方，持有的是原函數對 x 軸的倒影函數。其在價格上漲時收益增速較慢，而在價格下跌時虧損會快速擴大，對應了賣出看跌期權的風險收益模型。
乘方永續合約的定價
文章的最後，我們需要簡單討論一下乘方永續合約的定價問題。
期權之所以需要定價，與其凸函數的性質緊密相關。上文提到，凸函數的持有方獲得了一種收益與風險不匹配的風險敞口。於是想要購買潛在收益大於潛在風險頭寸的一方，只有向其對手方支付一定的溢價，才能緩解交易的不公平性並使得交易成交。
這種溢價，在傳統期權中表現為期權的購買價格。而在乘方永續合約中，則會表現為多方向空方定期支付的資金費。這種由多方定期支付資金費的形式，相當於多方在一定期限內，向空方「租用」了這種不對稱的風險敞口。且其租用時間可以自由調整，不再受到傳統期權到期日的限制。
同時，也由於這種溢價的存在，使得函數的成交價格會高於函數圖像本身，這也是論文中的函數圖像會同時具有兩條曲線的原因。下圖中的藍線是
函數圖像本身，黃線是考慮溢價之後的理論成交價格，而黃線高於藍線的部分，就是乘方永續合約的多方向空方支付的風險溢價。
那麼下一個問題自然是，黃線應該高於藍線多少才屬於合理的溢價？論文中用複雜的公式詳細討論了這個問題，而在這裡讀者可以暫時不去理解複雜的數學公式，只要知道這個溢價的大小會受哪些因素的影響就可以了。
與傳統的期權產品一樣，乘方永續合約的價格，也就是上文中的溢價，會受到底層資產的波動性、無風險利率的影響。底層資產的波動性越高，乘方永續合約買方支付的溢價就越高，也就是黃線與藍線的距離越大。此外，代表曲線彎曲程度的 n 的絕對值越大，代表產品收益與風險的不均衡程度越多，也會使得溢價金額變高。
本文僅基於基本的理論推導，嘗試對乘方永續合約可能的應用場景進行討論，如有不足之處還請專業人士批評指正。我個人對這項創新的第一時間感受是，如果這種模型真的能夠落地並被產品化，且沒有在應用階段被證偽，那麼其有可能是一個與現貨 AMM 交易機制同等重要的創新。
非常期待能有專業團隊將乘方永續合約的設想產品化，並使其能夠在真實的市場環境中接受考驗。
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