硬核：深入分析 TWAMM 做市商的數學原理

撰文：luffy

最近，Paradigm 研究合伙人 Dave White、Dan Robinson 與 Uniswap 創始人 Hayden Adams 一起合作設計了一個全新的做市模型「時間加權做市商 TWAMM」（The Time-Weighted Average Market Maker）。根據其發表文章介紹，TWAMM 可以在以太坊上有效地交易大額訂單，工作原理是將長期大額訂單分解為無限多個無限小的虛擬訂單，在一定時間內使用嵌入式 AMM 平滑地執行這些交易。

關於 TWAMM 的虛擬交易所涉及的數學，Dave White 在文中並沒有多費筆墨，只在最後給出了非常簡單的數學結論，這對於理解 TWAMM 的數學原理非常不利。本文將重點對 TWAMM 的數學原理進行嚴格的論證和解釋，至於 TWAMM 模型詳細的設計原理，可以前往 Paradiagm 官網查看，本文不再做詳述。

定義

假設 TWAMM 執行大額虛擬交易需要 N 個區塊，出售 X 的池子以每區塊 xrate 的速率出售，而出售 Y 的池子以每個區塊 yrate 的速率出售。因此，在整個期間售出的 X 總量為 xin=Nxrate，售出的 Y 總量為 yin=Nyrate。

同時，我們將此時間段嵌入 AMM 的初始儲備 xreserve 和 yreserve 分別表示為 x0=xammStart 以及 y0=yammStart。

按照 TWAMM 的設計，大額訂單是隨着區塊進行交易的，每個區塊出售 xrate 得到 yout，或者出售 xrate 得到 yout，同時 AMM 會更新 xreserve 和 yreserve 的值，整個過程總共交易 N 次。

值得注意的是，AMM 的每個區塊交易總是遵循恆定乘積做市。

公式

首先，在執行第 n-1 區塊的交易后，我們假設此時 AMM 的 xreserve 和 yreserve 值分別為 xn-1 和 yn-1。

接下來執行第 n 區塊的交易，X-Pool 和 Y-Pool 分別向 AMM 輸入 xrate 和 yrate，命：

因為 xrate 和 yrate 非常微小，且區塊的交易 AMM 遵循恆定乘積做市商，我們可以得到，

化簡，

在得到 xout,n 和 yout,n 的值后，我們進一步可以獲得 n 區塊的交易后 AMM 的 xreserve 和 yreserve 值 xn 和 yn，

通過觀察，我們發現 xn*yn=xn-1*yn-1，這正好符合 AMM 的循恆定乘積做市的前提要求。

令， xn*yn=xn-1*yn-1=…= x1*y1=x0*y0=k，這是一個常數。

分式線性遞歸

先對 xn 求得一般公式，並獲得 xammEnd=xN 的值，yn 同理。

yn 的分式線性遞歸表達式如下：

解

首先，若 yin 等於 0，xin 不等於 0，則

而

計算得到，

而，

xin 等於 0，yin 不等於 0 時，討論同上。

若 xin 和 yin 都不等於 0，對於一般的分式線性遞歸，我們可以採用不動點的方法求解。

進一步計算，

極限

TWAMM 的基本假設是將長期大額訂單分解為無限多個無限小的虛擬訂單，也即是 N 可以取無窮大，這時候可以獲得 xN 的極限值。

其中，

相似的，

最後，經過簡單的驗證 xammEnd*yammEnd=xammStart*yammStart=k, 依然滿足 AMM 的恆定乘積。

至此，我們完成了 TWAMM 的數學原理嚴格的論證和解釋，並得到了與 「時間加權做市商 TWAMM」 一文完全相同的結論。