研究報告：永續時間轉換期權的定價方式

作者：DeFi研究員 Vincent Lu

Pechtl的模型

1995年，Pechtl提出離散時間轉換認購期權，如果在Δt內，資產價格超過了行權價X，則投資者可以在期權到期的時候獲得這段時間的收益為AΔt（A為某個常數），同理，在離散時間認沽期權中，在某個Δt內，資產價格低於了行權價X，則投資者可以在期權到期的時候獲得這段時間的收益為也為AΔt。

Pechtl根據理論和BS模型，他計算出這種認購期權的定價可以用如下算式來表達：

認沽期權的定價可以用如下算式來表達：

其中S為現價，X為行權價，波動率為σ

在這兩個算式中，n = T/Δt，如果期權合約已經生效了一段時間，則需要在期權定價公式中增加一項：ΔtA·exp(-rT)·m，其中m是已經滿足時間轉換條件的時間單位數量（例如，認購期權已經生效了20天，其中10天價格超過了行權價格）

基於Pechtl模型的改動

我們對Pechtl的理論做一點小改動，如果某投資者能在認購期權價格超過行權價格的時候就獲得收益，並且收益的計算方式為（當前價格-行權價格）*Δt，例如，Alice從Bob那裡買了一個行權價格為110美元的認購期權，到期時間是1年。在這年裡，價格在11月份突破了行權價，到達了120～130美元，而到了十二月份，價格下跌，跌破了90美元，雖然到期時間來臨時，期權價格仍然低於110美元，但是Alice仍然可以在11月獲得期權高於行權價的那部分收入。

考慮到在Pechtl模型中，收益為到期日後才獲得，所以在估算價格中，會有折現因子exp(-rT)，其中r為無風險利率。那如果當時就行權，在第i個周期內，獲得概率的可能性應為：

我們的認購期權模型中，另一個改動是超過行權價，投資者獲得的收益為（當前價格-行權價格）✖️Δt，而不是像Pechtl模型中的固定常數A，在這種情況下，我們必須修訂Pechtl的公式，應該用每個（當時價格-行權價格）✖️（這個價格出現的概率）並累加。在數學上就是積分的形式（因為Z表示概率累積，因此某個價格出現的概率應為Z關於價格的一階導數）：

模型中的另外一個改動就是：購買認購期權的投資者是立即獲得收益，而不是等到到期日之後才會獲得，因此需要把每天的收益折現到當前。考慮到無風險利率是r，那麼每天的收益即為r/365，第i天的現值（PV）應該為：

把所有的Ci累加，就得到了這種期權的定價方式：

Python模擬

我們用Python模擬了這種認購期權的定價方式：假設現價為100美元，無風險利率為6%，波動率為26%，我們研究這種認購期權價格C和到期天數n之間的關係。

這種情況很符合日常感覺，如果到期天數長，風險增加，價格超過行權價的可能性也增加了。因此認購期權就貴了，但是增長幅度變慢了，如果到期天數無限大，價格應該會收斂到一個定值。

永續時間轉換期權的定價方式（以認購期權為例）

在上式中令n趨近於無窮大，我們可以得到這種期權的定價模型為：

原文鏈接：https://medium.com/@Vincent.R.Jaipul/perpetual-timer-option-pricing-8bd9f4139e79