乾貨 | Schnorr 簽名如何提升比特幣

在閱讀 Blockstream 撰寫的 MuSig 論文時,我一直在想象,這對於我一個比特幣用戶來說,到底意味着什麼。我發現 Schnorr 簽名的一些特性實在是非常棒而且便利,但某一些特性則非常煩人。在這篇文章里,我希望能跟各位分享我的想法。不過,我們先快速回顧一下。

橢圓曲線簽名算法

當前比特幣的所有權體系用的是 ECDSA(橢圓曲線簽名算法)。在簽名一條消息 m 時,我們先哈希這條消息,得出一個哈希值,即 z = hash(m) 。我們也需要一個隨機數(或者至少看似隨機的數)k 。在這裡,我們不希望信任隨機數生成器(有太多的錯誤和漏洞都與不合格的隨機數生成器有關),所以我們通常使用 RFC6979,基於我們所知的一個秘密值和我們要簽名的消息,計算出一個確定性的 k。

使用私鑰 pk ,我們可以為消息 m 生成一個簽名,簽名由兩個數組成:r(隨機點 R = k * G 的 x 坐標)和 s = (z + r*pk)/k

然後,使用我們的公鑰 P = pk * G ,任何人都可以驗證我們的簽名,也就是檢查 (z/s)×G+(r/s)×P 的 x 坐標確為 r

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– ECDSA 算法圖解。為便於說明,橢圓曲線作在實數域上 –

這種算法是很常見的,也非常好用。但還有提升空間。首先,簽名的驗證包含除法(1/s)和兩次點乘法,而這些操作的計算量都非常大。在比特幣網絡中,每個節點都要驗證每一筆交易,所以當你在網絡中發出一筆交易時,全網幾千個節點都要驗證你的簽名。因此,即使簽名的過程開銷變得更大,讓驗證簽名變得更簡單也還是非常有好處的。

其次,節點在驗證簽名時,每個簽名都要單獨驗證。在一個 m-n 的多簽交易中,節點必須多次驗證同一個簽名。比如一筆 7-11 的多簽名交易,裡面包含了 7 個簽名,網絡中的每個節點都要分別驗證 7 個簽名。另外,這種交易的體積也非常大,用戶必須為此付出多得多的手續費。

Schnorr 簽名

Schnorr 簽名的生成方式有些許不同。它不是兩個標量 (r, s),而是一個點 R 和一個標量 s 。類似於 ECDSA 簽名,R 是一個橢圓曲線上的隨機點 R = k * G。而簽名的第二部分 s 的計算過程也有一些不同: s = k + hash(P,R,m) ⋅ pk 。這裡 pk 就是你的私鑰,而 P = pk * G 是你的公鑰,m 就是那條消息。驗證過程是檢查 s * G = R + hash(P,R,m) * P

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– 圖解 Schnorr 簽名和驗證 –

這個等式是線性的,所以多個等式可以相加相減而等號仍然成立。這給我們帶來了 Schnorr 簽名的多種良好特性。

1. 批量驗證

在驗證區塊鏈上的一個區塊時,我們需要驗證區塊中所有交易的簽名都是有效的。如果其中一個是無效的,無論是哪一個 —— 我們都必須拒絕掉整個區塊。

ECDSA 的每一個簽名都必須專門驗證,意味着如果一個區塊中包含 1000 條簽名,那我們就需要計算 1000 次除法和 2000 次點乘法,總計約 3000 次繁重的運算。

但有了 Schnorr 簽名,我們可以把所有的簽名驗證等式加起來並節省一些計算量。在一個包含 1000 筆交易的區塊中,我們可以驗證:

(s1+s2+…+s1000) × G=(R1+…+R1000)+(hash(P1,R1,m1)×P1+ hash(P2,R2,m2)×P2+…+hash(P1000,R1000,m1000)×P1000)

這裡就是一連串的點加法(從計算機運算的角度看,簡直是免費的)和 1001 次點乘法。已經是幾乎 3 倍的性能提升了 —— 驗證時只需為每個簽名付出一次重運算。

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– 兩個簽名的批量驗證。因為驗證等式是線性可加的,所以只要所有的簽名都是有效的,這幾個等式的和等式也必成立。我們節約了一些運算量,因為標量和點加法比點乘法容易計算得多。-

2. 密鑰生成

我們想要安全地保管自己的比特幣,所以我們可能會希望使用至少兩把不同的私鑰來控制比特幣。一個在筆記本電腦或者手機(在線錢包,熱錢包)上使用,而另一個放在 硬件錢包/冷錢包 裡面。即使其中一個泄露了,我們還是掌控着自己的比特幣。

當前,實現這種錢包的做法是通過 2-2 的多簽名腳本。也就是一筆交易需要包含兩個獨立的簽名。

有了 Schnorr 簽名,我們可以使用一對密鑰 (pk1,pk2),並使用一個共享公鑰 P = P1 + P2 = pk1 * G + pk2 * G 生成一個共同簽名。在生成簽名時,我們需要在兩個設備上分別生成一個隨機數 (k1, k2),並以此生成兩個隨機點 Ri = ki * G,再分別加上 hash(P, R1 + R2, m),就可以獲得 s1 和 s2 了(因為 si = ki + hash(P, R, m)* pki )。最後,把它們都加起來即可獲得簽名 (R, s) = (R1+R2, s1+s2),這就是我們的共享簽名,可用共享公鑰來驗證。其他人根本無法看出這是不是一個聚合簽名,它跟一個普通的 Schnorr 簽名看起來沒有兩樣。

不過,這種做法有三個問題。

第一個問題是 UI 上的。要發起一筆交易,我們需要在兩個設備上發起多輪交互 —— 為了計算共同的 R,為了簽名。在兩把私鑰的情況下,只需訪問一次冷錢包:我們可以在熱錢包里準備好待簽名的交易,選好 k1 並生成 R1 = k1 * G,然後把待簽名的交易和這些數據一同傳入冷錢包並簽名。因為已經有了 R1,簽名交易在冷錢包中只需一輪就可以完成。從冷錢包中我們得到 R2 和 s2,傳回給熱錢包。熱錢包使用前述的 (k1,R1) 簽名交易,把兩個簽名加總起來即可向外廣播交易了。

這在體驗上跟我們現在能做到的沒有什麼區別,而且每當你加多一把私鑰,問題就會變得更加複雜。假設你有一筆財富是用 10 把私鑰共同控制的,而 10 把私鑰分別存放在世界各地,這時候你要發送交易,該有多麻煩!在當前的 ECDSA 算法中,每個設備你都只需要訪問一次,但如果你用上 Schnorr 的密鑰聚合,則需要兩次,以獲得所有的 Ri 並簽名。在這種情況下,可能不使用聚合,而使用各私鑰單獨簽名的方式會好一些 —— 這樣就只需要一輪交互。

文章完成後,我得到了 Manu Drijvers 的反饋:在一個可證明安全性的多簽名方案中,你需要 3 輪交互:

  • 選擇一個隨機數 ki 以及相應的隨機點 Ri = ki / G,然後告訴每一個設備 Ri 的哈希值 ti=hash(Ri),然後每個設備都能確保你沒有在知道其他人的隨機數之後改變主意*
  • 收集所有的數字 Ri 並計算公共的 R
  • 簽名

第二個問題是已知的 Rogue 密鑰攻擊。這篇論文講解得非常好,所以我就不贅述了。大概意思是如果你的其中一個設備被黑(比如你的熱錢包被劫持),並假裝自己的公鑰是 (P1 – P2),那就可以僅憑私鑰 pk1 便控制兩個私鑰共享的資金。一個簡單的解決方案是,在設置設備時,要求使用私鑰對相應的公鑰簽名。

還有第三個重大問題。你沒法使用確定性的 k 來簽名。如果你使用了確定性的 k,則只需一種簡單的攻擊,黑客即可獲得你的私鑰。攻擊如下:某個黑客黑入你的筆記本電腦,完全控制了其中一把私鑰(比如 pk1)。我們感覺資金仍是安全的,因為使用我們的比特幣需要 pk1 和 pk2 的聚合簽名。所以我們像往常一樣發起交易,準備好一筆待簽名的交易和 R1,發送給我們的硬件錢包,硬件錢包簽名后將 (R2, s2)發回給熱錢包 …… 然後,熱錢包出錯了,沒法完成簽名和廣播。於是我們再試一次,但這一次被黑的電腦用了另一個隨機數 —— R1' 。我們在硬件錢包里簽名了同一筆交易,又將 (R2, s2')發回給了被黑的電腦。這一次,沒有下文了 —— 我們所有的比特幣都不翼而飛了。

在這次攻擊中,黑客獲得了同一筆交易的兩個有效的簽名:(R1, s1, R2, s2) 和 (R1', s1',R2,s2')。這個 R2 是一樣的,但是 R = R1 + R2 和 R' = R1' + R2 是不同的。這就意味着黑客可以計算出我們的第二個私鑰:s2-s2'=(hash(P,R1+R2,m)-hash(P,R1'+R2,m))⋅pk2 或者說 pk2=(s2-s2')/(hash(P,R1+R2,m)-hash(P,R1'+R2,m))。我發現這就是密鑰聚合最不方便的地方 —— 我們每次都要使用一個好的隨機數生成器,這樣才能安全地聚合。

3. Musig

MuSig 解決了其中一個問題 —— rogue key 攻擊將不能再奏效。這裡的目標是把 多方/多個設置的簽名和公鑰聚合在一起,但又無需你證明自己具有與這些公鑰相對應的私鑰。

聚合簽名對應着聚合公鑰。但在 MuSig 中,我們不是把所有聯合簽名者的公鑰直接相加,而是都乘以一些參數,使得聚合公鑰 P = hash(L,P1)×P1 + … + hash(L,Pn)×Pn 。在這裡,L = hash(P1,…,Pn) —— 這個公共數基於所有的公鑰。L 的非線性特性阻止了攻擊者構造特殊的公鑰來發動攻擊。即使攻擊者知道他的 hash(L,Patk)×Patk 應該是什麼,他也無法從中推導出 Patk 來 —— 這就跟你想從公鑰中推導出私鑰是一樣的。

簽名構造的其它過程跟上面介紹的很像。在生成簽名時,每個聯合簽名者都選擇一個隨機數 ki 並與他人分享 Ri = ki * G。然後他們把所有的隨機點加起來獲得 R=R1+…+Rn ,然後生成簽名 si = ki + hash(P,R,m) ⋅ hash(L,Pi) ⋅ pki 。因此,聚合簽名是 (R, s)=(R1+…+Rn, s1+…+sn) ,而驗證簽名的方法與以前一樣:s×G = R + hash(P,R,m)×P 。

4. 默克爾樹多簽名

你可能也注意到了,MuSig 和密鑰聚合需要 *所有簽名者簽名一個交易*。但如果你想做的是 2-3 的多簽名腳本呢?這時候我們能夠使用簽名聚合嗎,還是不得不使用通常的 OP_CHECKMULTISIG 和分別簽名?(譯者註:OP_CHECKMULTISIG 是比特幣驗證橢圓曲線多簽名腳本的操作碼)

先說答案,是可以的,但是協議上將有些許的不同。我們可以開發一個類似於 OP_CHECKMULTISIG 的操作碼,只不過是檢查聚合簽名是否對應於公鑰默克爾樹上的一個元素。

舉個例子,如果我們想用公鑰 P1、P2 和 P3 組成一個 2-3 的多簽名腳本,我們需要用這幾把公鑰的所有兩兩組合 (P1, P2)、(P2, P3)、(P1, P3) 來構建一棵默克爾樹,並把默克爾樹根公布在鎖定腳本中。

在花費比特幣時,我們需要提交一個簽名和一個證據,證明這個簽名所對應的公鑰位於由這個樹根標記的默克爾樹上。對於 2-3 多簽名合約來說,樹上只有 3 個元素,證據只需 2 條哈希值 —— 那個我們想用的公鑰組合的哈希值,還有一個鄰居的。對於 7-11 多簽名腳本來說,公鑰組合有 11!/7!/4!=330 種,證據需要 8 條哈希值。通常來說,證據所包含的元素數量與多簽名的密鑰數量大體成正比 ,為 log2(n!/m!/(n-m)) 。

但有了默克爾公鑰樹,我們就不必局限於 m-n 多簽名腳本了。我們可以做一棵使用任意公鑰組合的樹。舉個例子,如果我們有一個筆記本電腦,一個手機,一個硬件錢包和一個助記詞,我們可以構建一棵默克爾樹,允許我們使用 筆記本電腦 + 硬件錢包、手機 + 硬件錢包 或者單獨的助記詞來使用比特幣。這是當前的 OP_CHECKMULTISIG 做不到的 —— 除非你使用 “IF – Else” 式的流程控制來構造更複雜的腳本。

乾貨 | Schnorr 簽名如何提升比特幣

– 聚合公鑰的默克爾樹。不僅僅是多簽名 –

結論

Schnorr 簽名很棒,它解決了區塊驗證中的一些計算開銷問題,也給了我們密鑰聚合的能力。後者在使用時有些不便利,但我們不是在強迫大家使用它 —— 無論如何,我們都可以仍舊使用普通的多簽名方案,使用單獨的、不聚合的簽名。

我迫不及待想使用 Schnorr 簽名,希望比特幣協議能儘快納入這種簽名方案。

另外,我也真心喜歡 MuSig,它是個優雅的方案,論文也淺顯易懂。我強烈建議各位有閑之時通讀全文。

(完)

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原文鏈接:

https://medium.com/cryptoadvance/how-schnorr-signatures-may-improve-bitcoin-91655bcb4744

作者: Stepan

翻譯: 阿劍

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